Практическая информатика



         

Решение уравнений, систем и неравенств - часть 2


In[16]:= InequalitySolve[2^(x^2)>16,x] InequalitySolve::"npi": "A nonpolynomial equation or inequality encountered. The solution set may be incorrect." Out[16]= x<-2 || x>2

В тех случаях, когда невозможно решить заданное уравнение аналитически, можно приближенно вычислить значение корня следующим образом. Сначала при помощи функции Plot строятся графики левой и правой частей уравнения и по рисунку находится первое приближение x0. Затем для уточнения значения корня применяется функция FindRoot. Если L(x) и R(x) - соответственно левая и правая части уравнения, x - искомый корень, а x0 - его приближенное значение, определенное с помощью графика, то функция для поиска корня имеет вид:

FindRoot[L(x)==R(x), {x,x0}]

Пример

Найдем приближенное решение уравнения ex=x2. Построим графики функций ex и x2, выполнив команду Plot[{Exp[x], x^2}, {x, -1, 1}].

Мы получим изображение графиков функций ex и x2 на одном чертеже для значений аргумента x, изменяющегося на отрезке [-1,1].


Глядя на графики, видим, что в качестве начального приближения может быть взято значение x0 = -0.5.

Для уточнения решения нашего уравнения воспользуемся командой FindRoot[Exp[x]==x^2, {x, -0.5}] и получим приближенное значение корня x = -0.703467. Если требуется большая точность (но не более 16 знаков после запятой), то можно воспользоваться функцией N. Так, выполнив команду N[FindRoot[Exp[x]==x^2, {x, -0.5}], 16], мы получим приближенное значение корня с точностью до 16 знаков после запятой: x = -0.7034674295409824.

Пример

Как правило, тригонометрические уравнения имеют бесконечно много решений, поэтому можно указывать различные начальные приближения и получать приближенные значения разных корней уравнения. Так, выполнив команду FindRoot[Sin[x^2]==0, {x, 2}], найдем x = 1.77245, а изменив начальное приближение с 2.0 на 3.0, с помощью команды FindRoot[Sin[x^2]==0, {x, 3}] получим приближенное значение другого корня уравнения, а именно x=3.06998.

Задания

  1. Решите системы уравнений:
    1.
    2.
  2. Решите неравенства:
    1.
    2.
  3. Найдите приближенно наименьший положительный корень уравнения 1/x2=5 cos x.
  4. Найдите с точностью 12 знаков после запятой все корни уравнения (1 - x)/(x4 + 1) = sin x, принадлежащие отрезку [-1,4].




Содержание  Назад  Вперед